對美國取消美蒙建交及不予廖文毅簽證事，蔣介石認為甘迺迪人誠懇只是年輕沒有經驗。在他看來今後對美外交不必墨守成規，有時應該要強硬。蔣可能看錯了人。在這一節，我們要討論外蒙案入會案牽涉到臺北政府在聯合國的席次，問題較為嚴重。因為蔣介石一再揚言要在聯合國安理會否決外蒙，因此否決外蒙也等於否決毛利坦尼亞。毛利坦尼亞位於西非，西瀕大西洋，北為撒哈拉沙漠及阿爾及利亞，東及東南是馬利，西南是塞內加爾。毛利坦尼亞是一回教國家，遠可溯自羅馬時代，曾是羅馬帝國的一省，及至近代為法國屬地，為法屬西非一部分。
一九五八年法屬西非聯盟解體，毛利坦尼亞於十月宣布成立毛利坦尼亞伊斯蘭教共和國，但正式獨立始於一九六○年十一月二十八日。一九六一年申請參加聯合國，蘇聯答應支持，但要非洲國家支持外蒙做為交換，因毛利坦尼亞是一個回教國家，大多數回教國家是支持毛利坦尼亞入會的，如果臺北否決外蒙則蘇聯否決毛利坦尼亞，這是條件。臺北政府揚言要在安理會否決外蒙，是故非洲講法語的十二個國家組成的布拉薩團（The Brazzaville Group）發表聲明支持毛利坦尼亞，並稱如果臺北否決外蒙即等於否決毛利坦尼亞，則非洲國家在投票決定中華民國聯合國席次問題時，將予以報復—投票反對臺北，將國民政府逐出這個國際組織，這樣把臺北的否決權連根都拔掉，臺北不僅失去了否決權，連在聯合國的席次也可能會失掉，這不是玩的，這個問題對臺北來說是夠嚴重的了。但臺北政府昧於國際情勢，還在喊「寧為玉碎，毋為瓦全」，或「玉石俱焚」要否決外蒙；這就是美國國務卿魯斯克所說，臺北要做的是「政治自殺」，夫復何言歟哉！
最後在這種僵持的局面下，促使副總統陳誠訪問美國。據蔣廷黻說，蔣認為美國政策已改變則陳副總統訪美無此必要，但陳誠說他訪美是報聘副總統詹森訪問臺灣。於是陳誠一行十二人於七月二十九日訪美，外交部長沈昌煥隨行，翻譯沈劍虹。陳誠在華盛頓一共有四次會談；兩次與甘迺迪，兩次與魯斯克。第一次與甘迺迪談話是在七月三十一日上午，甘迺迪面告陳誠，如果一旦中共成為聯合國會員國則對中華民國及美國均不利，是故美國政府正在研究一切方法組止中共進入聯合國。翌日上午舉行第二次會談，主要談在聯合國如何拉攏與會國家支持臺北，阻止北京加入聯合國，甘迺迪對陳誠說，中美兩國目標相同，「本人深望中國朝野能面對現實，改採較務實態度，須知中國如受挫折，美國亦必同受挫折。」
陳誠答稱：「中美兩國間並無多大誤會，縱使一度有之，經過此次懇談，兩國政府對彼此處境與立場，當更能瞭解。」此外甘迺迪在這兩次會談中，他很想知道中共統治大陸實際情況，希望中華民國多多提供此類情報。於八月一日陳誠與魯斯克兩度談話，所談的不出外蒙申請入會，以及臺北政府在聯合國席次問題。陳誠與甘迺迪及魯斯克前後四次會談，沈昌煥、葉公超及蔣廷黻均曾參與。在第四次會談（即第二次與魯斯克會談），葉公超問魯斯克：「美方曾有拉足安全理事會五理事國棄權，以阻外蒙古入會之議，何以嗣後變卦？」魯答稱：「單獨棄權，與促成集體棄權有別，中美如協同勸令他國棄權，以阻外蒙古入會，則非洲國家仍將視為形同否決，因而有對中美報復之虞。」葉質問：「美方此一看法，是否前所未及？」魯答說：「確係如此。率直言之，此為蘇聯藉非洲國家向各方之敲詐。」葉反問：「可否使非洲國家對蘇聯施用壓力，而令其在毛利坦尼亞入會案上棄權？」魯即表示，一點希望都沒有，乃又說：「美國對外蒙態度，並非故欲冒犯中華民國，而係欲對中華民國有所幫助，中美雙方在判斷上容有歧異，但在目標上並無不同。」陳誠當即表示中美雙方會談不是彼此要說服對方，他說如果五理事國棄權，中國亦棄權。在這裡看談話紀錄，葉公超沒有講錯話，而且問的問題很尖銳。
