「納許均衡」最著名的例子就是「囚徒困境」（Prisoner's Dilemma）：一個案子的兩名嫌犯被分開偵訊，警官分別告訴兩名嫌犯，如果兩人均不招供，將各被判刑1年；如果你招供，而對方不招供，則你將被判刑3個月，而對方將被判刑10年；如果兩人均招供，將均被判刑5年。於是，兩人同時陷入招供還是不招供的兩難處境。兩個囚犯符合自己利益的選擇是坦白招供，因此被判5年，原本對雙方都有利的策略──不招供而均被判刑1年──就不會出現。這樣的結局就是「納許均衡」，也叫「非合作均衡」（non-cooperative equilibrium）。
1951年，納許進入麻省理工學院（MIT）數學系任教，隔年與一位曾經照顧他的護士史蒂爾（Eleanor Stier）交往，並生下一子，但納許隨即拋棄這對母子，原因據說是嫌女方出身太低。當然，電影《美麗境界》對納許這段往事略去不表。
不久之後，納許結識來自中美洲薩爾瓦多的艾莉西亞，與這位MIT物理學系畢業的高材生陷入熱戀，兩人在1957年2月結婚。
在MIT，納許是一位很特別的老師，學生稱他「小教授」，因為他實在是太年輕了。他認為自己智力超群，同事討厭他的傲慢，但也容忍他，因為他確實是個天才。納許很快就在數學領域締造重大發現，尤其是幾何和偏微分方程（partial differential equation）。1958年，他被《財星》（Fortune）雜誌選為數學領域最閃亮的新星之一。
然而好景不長，1959年初，納許出現妄想型精神分裂症（paranoid schizophrenia）症狀，雖然艾莉西亞正懷著第一胎，但納許病情太過嚴重，被迫辭去MIT教職，住院治療。
1959年，納許和艾莉西亞的長子約翰（John Charles Martin Nash）誕生，他長大之後，和父親一樣，也是一位優秀的數學家，也罹患妄想型精神分裂症，長期接受父母照顧。
納許的朋友第一次注意到他的古怪行為，是在一次除夕派對上，當時他打扮成一個嬰兒，整個晚上蜷縮在艾莉西亞的大腿上，吸吮自己的拇指。在課堂上，他叫一個研究生來代課，自己則消失了幾個星期，又突然在學校的會議上出現，宣稱外星人透過《紐約時報》給他發送了加密的郵件。
他注意到校園裡很多人戴紅色領帶，認為這些人是一個秘密共產主義組織的成員，並開始監視他們。芝加哥大學邀請他擔任一個重要職位時，他拒絕了，說自己即將成為南極的皇帝。他跟同事說，外星人和政府秘密組織正在聯手破壞他的信譽，給同事帶來極大的困擾。後來，MIT數學系主任免除了納許的教學職務。
